Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
y[n]=3-x[n] cos (pi n / 3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente precisa analisar se o sistema é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo e (4) estável. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, causalidade, invariância temporal e estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema é linear. Um sistema é linear se satisfaz os princípios da aditividade e da homogeneidade.
  • Aditividade: Se temos duas entradas y[n] = 3 - x[n] cos(pi n3) e , a saída para deve ser .
  • Homogeneidade: Se multiplicamos a entrada por uma constante , a saída deve ser multiplicada por .
No nosso sistema:
Note que há um termo constante 3, o que já quebra a propriedade da homogeneidade, pois multiplicar a entrada por uma constante não multiplicaria a saída por essa mesma constante devido ao 3 fixo. Portanto, o sistema não é linear.

Passo 3

Agora, vamos ver se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante y[n] = 3 - x[n] cos(pi n3) depende apenas de valores presentes e passados da entrada, ou seja, para .
No nosso sistema:
A saída depende apenas de , que é a entrada no mesmo instante de tempo. Não há dependência futura, então o sistema é causal.

Passo 4

Vamos verificar a invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, quando a entrada é deslocada no tempo, a saída é deslocada na mesma quantidade sem alterar a forma geral.
Se deslocarmos a entrada y[n] = 3 - x[n - k] cos(pi n3) , a saída será:
Observa que o termo depende de , então mesmo que a entrada seja deslocada, esse termo não se desloca da mesma forma. Isso significa que a relação entre entrada e saída muda com o tempo, então o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Por último, vamos analisar a estabilidade. Um sistema é estável se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada.
No nosso sistema:
y[n] = 3 - x[n] cos(pi n3)
As funções |y[n]| <= |3| + |x[n]| cdot |cos(pi n3)| <= 3 + M estão sempre entre -1 e 1. Se for limitado, digamos , então:
Portanto, a saída também é limitada, então o sistema é estável.

Resposta

O sistema é:
  1. Não linear
  2. Causal
  3. Não invariante no tempo
  4. Estável

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