A resposta ao impulso de um sistema é . Obtenha:
A resposta do sistema à entrada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre sistemas de sinais e a resposta a uma entrada específica. Aqui, temos a resposta ao impulso do sistema, que é basicamente a reação do sistema a um impulso muito curto. O objetivo é encontrar como o sistema responde a uma entrada , onde é a função degrau. Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é uma maneira de determinar a saída de um sistema para qualquer entrada, conhecendo a resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é a resposta ao impulso . Ela é dada por:
Aqui, é a função delta de Dirac, que é 1 quando e 0 caso contrário. Então, é um impulso deslocado para e para .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a entrada . A função é o função degrau unitário, que é 0 para e 1 para . Portanto, representa um degrau que começa em e termina em .

Passo 4

Para encontrar a resposta do sistema à entrada , precisamos calcular a convolução entre e :
A convolução em sinais discretos é definida como:

Passo 5

Mas como é composto por deltas deslocados, a convolução fica mais simples. Vamos substituir por :
Devido à propriedade da delta de Dirac, apenas os termos onde os argumentos das deltas são zero contribuem para a soma. Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos substituir nas expressões e :
Isso significa que será uma combinação de degraus deslocados.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Isso indica que a resposta do sistema é um sinal que começa a crescer em , tem um aumento adicional em , começa a cair em e cai novamente em .

Resposta

A resposta do sistema à entrada é:

Exercícios relacionados

Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
Se a energia do um sinal é , então encontre a energia de e , para constante.
Encontre a potência e o valor rms de .
A resposta ao impulso de um sistema é . Obtenha:
A equação a diferenças que relaciona a entrada do sistema e a sua saída ;