A resposta ao impulso de um sistema é
. Obtenha:
A resposta do sistema à entrada
.
A resposta do sistema à entrada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre sistemas de sinais e a resposta a uma entrada específica. Aqui, temos a resposta ao impulso do sistema, que é basicamente a reação do sistema a um impulso muito curto. O objetivo é encontrar como o sistema responde a uma entrada
, onde
é a função degrau. Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é uma maneira de determinar a saída de um sistema para qualquer entrada, conhecendo a resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é a resposta ao impulso
. Ela é dada por:
Aqui,
é a função delta de Dirac, que é 1 quando
e 0 caso contrário. Então,
é um impulso deslocado para
e
para
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a entrada
. A função
é o função degrau unitário, que é 0 para
e 1 para
. Portanto,
representa um degrau que começa em
e termina em
.
Passo 4
Para encontrar a resposta do sistema
à entrada
, precisamos calcular a convolução entre
e
:
A convolução em sinais discretos é definida como:
Passo 5
Mas como
é composto por deltas deslocados, a convolução fica mais simples. Vamos substituir
por
:
Devido à propriedade da delta de Dirac, apenas os termos onde os argumentos das deltas são zero contribuem para a soma. Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir
nas expressões
e
:
Isso significa que
será uma combinação de degraus deslocados.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Isso indica que a resposta do sistema é um sinal que começa a crescer em
, tem um aumento adicional em
, começa a cair em
e cai novamente em
.
Resposta
A resposta do sistema à entrada
é:
Exercícios relacionados
Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
Se a energia do um sinal
é
, então encontre a energia de
e
, para
constante.
Encontre a potência e o valor rms de
.
A resposta ao impulso de um sistema é
. Obtenha:
A equação a diferenças que relaciona a entrada do sistema e a sua saída
;
A equação a diferenças que relaciona a entrada do sistema