Se a energia do um sinal é , então encontre a energia de e , para constante.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Sabemos que a energia de um sinal é . Precisamos encontrar a energia de e de , onde é uma constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de sinais, especificamente sobre energia de sinais e propriedades de sinais invertidos e escalados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calculamos a energia de um sinal. A energia de um sinal é dada por:
Isso significa que somamos o quadrado dos valores absolutos do sinal para todos os valores de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a energia de . Substituindo na expressão da energia:
Como a soma é sobre todos os , podemos fazer uma mudança de índice. Vamos chamar :
Perceba que, depois da mudança de variável, a soma volta a ser exatamente a energia original . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia de . Aplicando a constante :
Como caso seja real, podemos fatorar a constante:

Resposta

A energia de é e a energia de é .

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Um sistema causal é aquele em que:
A saída depende apenas das entradas passadas e presentes.
Um sistema é classificado como linear se:
Ele satisfaz a propriedade da homogeneidade e aditividade.
Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
A resposta ao impulso de um sistema é . Obtenha:
A resposta do sistema à entrada .