.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Esse problema está na matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Simplificando, temos:
Passo 3
Vemos que essa é uma equação diferencial separável, ou seja, conseguimos separar os termos com
dos termos com
. Vamos reorganizar:
Colocando todos os termos com
de um lado e
do outro:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador da fração:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
e
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
Para resolver essa integral, podemos usar frações parciais. Fatorando o denominador:
Então, decompomos:
Resolvendo para
,
e
, encontramos os valores que permitem a integração.
Passo 7
Após determinar
,
e
, integramos cada termo separadamente:
As integrais resultam em funções logarítmicas e arctangentes, que combinadas nos dão a expressão de
em termos de
.
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na equação para encontrar
em função de
. Aplicamos a condição inicial
para determinar a constante de integração.
Resposta
A solução da equação diferencial é: