y^(1/2) y' + y^(3/2) = 1 ; y(0) = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Esse problema está na matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por :
Simplificando, temos:

Passo 3

Vemos que essa é uma equação diferencial separável, ou seja, conseguimos separar os termos com dos termos com . Vamos reorganizar:
Colocando todos os termos com de um lado e do outro:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador da fração:
Então, a equação fica:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Seja , então e . Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
Para resolver essa integral, podemos usar frações parciais. Fatorando o denominador:
Então, decompomos:
Resolvendo para , e , encontramos os valores que permitem a integração.

Passo 7

Após determinar , e , integramos cada termo separadamente:
As integrais resultam em funções logarítmicas e arctangentes, que combinadas nos dão a expressão de em termos de .

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na equação para encontrar em função de . Aplicamos a condição inicial para determinar a constante de integração.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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