Determine si cada una de las funciones siguientes es una solución de la ecuación de Laplace
u = x^2 - y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função satisfaz a equação de Laplace. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e .

Passo 2

A equação de Laplace é dada por:
Isso significa que somando as derivadas de segunda ordem de em relação a e , o resultado deve ser zero para que seja uma solução da equação de Laplace.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas:
Como a soma é igual a zero, a função satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação de Laplace.

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