Determine si cada una de las funciones siguientes es una solución de la ecuación de Laplace
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a
e
.
Passo 2
A equação de Laplace é dada por:
Isso significa que somando as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e
, o resultado deve ser zero para que
seja uma solução da equação de Laplace.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas:
Como a soma é igual a zero, a função satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação de Laplace.