Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é considerado conservativo se existir uma função escalar tal que:
Isso significa que o campo pode ser derivado de uma única função potencial .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, usamos a condição de que, em duas dimensões, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
Como , as derivadas parciais não são iguais.

Resposta

O campo não é conservativo.

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