Mostrar que a curvatura de uma reta é nula.

Passo 1

Beleza, a gente precisa mostrar que a curvatura de uma reta é nula. Isso envolve entender um pouco de geometria e cálculo, especialmente o conceito de curvatura de uma curva. Vamos precisar saber como calcular a curvatura para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é curvatura. A curvatura, geralmente representada por , mede o quanto uma curva está “curvando” em um ponto específico. Quanto maior a curvatura, mais a curva está se curvando naquele ponto. Para uma reta, que não tem nenhuma curvatura, esperamos que sua curvatura seja zero.

Passo 3

A fórmula para calcular a curvatura de uma curva parametrizada por e é:
Aqui, e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar uma reta. Vamos escolher uma reta horizontal para simplificar, por exemplo, , onde é uma constante. Então, podemos parametrizar a reta assim:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura de uma reta é zero.

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