Mostrar que a curvatura de uma reta é nula.
Passo 1
Beleza, a gente precisa mostrar que a curvatura de uma reta é nula. Isso envolve entender um pouco de geometria e cálculo, especialmente o conceito de curvatura de uma curva. Vamos precisar saber como calcular a curvatura para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é curvatura. A curvatura, geralmente representada por
, mede o quanto uma curva está “curvando” em um ponto específico. Quanto maior a curvatura, mais a curva está se curvando naquele ponto. Para uma reta, que não tem nenhuma curvatura, esperamos que sua curvatura seja zero.
Passo 3
A fórmula para calcular a curvatura
de uma curva parametrizada por
e
é:
Aqui,
e
são as primeiras derivadas de
e
em relação a
, e
e
são as segundas derivadas.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar uma reta. Vamos escolher uma reta horizontal para simplificar, por exemplo,
, onde
é uma constante. Então, podemos parametrizar a reta assim:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura de uma reta é zero.
Exercícios relacionados
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Calcule a integral
.
Uma partícula move-se no plano de modo que, no instante
, sua posição é dada por
. Calcular o raio de curvatura
da trajetória.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.