Uma partícula move-se no plano de modo que, no instante , sua posição é dada por . Calcular o raio de curvatura da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula está se movendo no plano, e sua posição em qualquer instante é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular o raio de curvatura dessa trajetória.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas da posição em relação ao tempo para encontrar . Precisaremos calcular as derivadas primeira e segunda das componentes de e aplicar a fórmula do raio de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas das componentes de . A posição da partícula é dada por:
Vamos derivar cada componente em relação a .
Derivada primeira ( :
Para a componente :
Para a componente :
Então, a derivada primeira é:
Derivada segunda ( :
Vamos derivar novamente cada componente:
Para :
Para :
Então, a derivada segunda é:

Passo 3

Agora que temos e , vamos usar a fórmula do raio de curvatura para uma curva parametrizada:
Como estamos trabalhando no plano, o produto vetorial resulta em um escalar que representa a magnitude da curvatura.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Produto vetorial :
Substituindo os valores que encontramos:
E como , temos:
  1. Módulo de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do raio de curvatura:
Mas espere aí! Parece que achamos um raio de curvatura de , mas vamos checar de novo.
Na verdade, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
No entanto, considerando que a trajetória da partícula é um círculo com raio (já que ), o raio de curvatura deve ser o próprio raio do círculo, que é .
Parece que houve um equívoco nos cálculos. Vamos revisar a fórmula correta para o raio de curvatura no plano:
Aplicando isso:
Numerador:
Denominador:
Então,

Resposta

O raio de curvatura da trajetória é igual a .

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