Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde F(x, y, z)=sen y cos x i+cos y sen x j+k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (1,0,0) e (0,1,1).
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde a gente precisa verificar se uma integral de linha integralC F cdot d r não depende do caminho escolhido. Depois, vamos calcular o valor dessa integral usando uma curva que facilite a conta. A matéria que a gente vai usar envolve campos vetoriais e integrais de linha. Precisaremos entender sobre campos conservativos e a condição para que a integral não dependa do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a integral não depende do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, F = nabla phi. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (curl) deles é zero: nabla times F = 0.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de F para verificar se ele é realmente conservativo. O rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Para o nosso campo F(x, y, z) = sin y cos x i + cos y sin x j + k, temos:
P = sin y cos x
Q = cos y sin x
R = 1
Agora, calculamos cada componente do rotacional:
partial Rpartial y = 0 e partial Qpartial z = 0, então a componente i é 0 - 0 = 0.
partial Ppartial z = 0 e partial Rpartial x = 0, então a componente j é 0 - 0 = 0.
partial Qpartial x = cos y cos x e partial Ppartial y = cos y cos x, então a componente k é cos y cos x - cos y cos x = 0.
Portanto, nabla times F = 0, o que confirma que o campo é conservativo e a integral não depende do caminho.
Passo 4
Como a integral é independente do caminho, podemos escolher uma curva que torne o cálculo mais simples. Uma boa estratégia é escolher uma curva que vá primeiramente de (1,0,0) para (0,1,0) e depois para (0,1,1). Isso facilita porque podemos dividir a integral em duas partes mais fáceis de calcular.
Passo 5
Vamos encontrar uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Se conseguirmos isso, a integral será simplesmente phi no ponto final menos phi no ponto inicial.
Para encontrar phi, integramos cada componente de F:
Integramos P = sin y cos x em relação a x:
phi(x, y, z) = integral sin y cos x , dx = sin y sin x + h(y, z)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos a Q = cos y sin x:
partial phipartial y = cos y sin x + partial hpartial y = cos y sin x
Isso implica que partial hpartial y = 0, então h depende apenas de z: h(z).
Finalmente, derivamos phi em relação a z e igualamos a R = 1:
partial phipartial z = dhdz = 1 Rightarrow h(z) = z + C
Podemos considerar C = 0 para simplificar.
Então, a função potencial é:
phi(x, y, z) = sin y sin x + z
Passo 6
Agora que temos a função potencial, calculamos a integral usando os pontos finais (1,0,0) e (0,1,1):