Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde a gente precisa verificar se uma integral de linha não depende do caminho escolhido. Depois, vamos calcular o valor dessa integral usando uma curva que facilite a conta. A matéria que a gente vai usar envolve campos vetoriais e integrais de linha. Precisaremos entender sobre campos conservativos e a condição para que a integral não dependa do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a integral não depende do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (curl) deles é zero: .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de para verificar se ele é realmente conservativo. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Para o nosso campo , temos:
Agora, calculamos cada componente do rotacional:
  • e , então a componente é .
  • e , então a componente é .
  • e , então a componente é .
Portanto, , o que confirma que o campo é conservativo e a integral não depende do caminho.

Passo 4

Como a integral é independente do caminho, podemos escolher uma curva que torne o cálculo mais simples. Uma boa estratégia é escolher uma curva que vá primeiramente de para e depois para . Isso facilita porque podemos dividir a integral em duas partes mais fáceis de calcular.

Passo 5

Vamos encontrar uma função potencial tal que . Se conseguirmos isso, a integral será simplesmente no ponto final menos no ponto inicial.
Para encontrar , integramos cada componente de :
  • Integramos em relação a :
  • Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
    Isso implica que , então depende apenas de : .
  • Finalmente, derivamos em relação a e igualamos a :
    Podemos considerar para simplificar.
Então, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial, calculamos a integral usando os pontos finais e :
Calculamos cada termo:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .