Determine o campo de direções da EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o campo de direções da equação diferencial ordinária (EDO)
. O campo de direções é uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções da EDO em diferentes pontos do plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular e representar essas inclinações usando a fórmula dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo de direções. Imagine que em cada ponto
do plano, a EDO nos dá a inclinação da tangente à curva solução nesse ponto. Essa inclinação é representada por
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da EDO que temos:
. Isso significa que, para qualquer ponto
, a inclinação da tangente é igual a
.
Passo 4
Para construir o campo de direções, escolhemos alguns pontos no plano
e calculamos
usando a fórmula. Por exemplo:
- No ponto
: - No ponto
: Aqui a fórmula fica , que é indefinida. Isso significa que a inclinação não está definida nesse ponto. - No ponto
:
Passo 5
Depois de calcular
em vários pontos, desenhamos pequenas linhas com essas inclinações em cada ponto correspondente no plano. Por exemplo, no ponto
, desenhamos uma linha com inclinação 1 (uma linha que sobe 45 graus).
Passo 6
Repetimos esse processo para vários pontos ao longo do plano para visualizar como as inclinações das soluções mudam de acordo com
e
. Isso nos dá uma ideia de como as curvas soluções se comportam sem realmente resolvê-las.
Resposta
O campo de direções da EDO
é formado pelas inclinações calculadas em cada ponto
usando a fórmula
. Ao desenhar essas inclinações em vários pontos do plano, obtemos uma representação gráfica que mostra como as soluções da EDO se comportam.
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