Determine o campo de direções da EDO y' = x^2 / (1 - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o campo de direções da equação diferencial ordinária (EDO) . O campo de direções é uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções da EDO em diferentes pontos do plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular e representar essas inclinações usando a fórmula dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo de direções. Imagine que em cada ponto do plano, a EDO nos dá a inclinação da tangente à curva solução nesse ponto. Essa inclinação é representada por , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da EDO que temos: . Isso significa que, para qualquer ponto , a inclinação da tangente é igual a .

Passo 4

Para construir o campo de direções, escolhemos alguns pontos no plano e calculamos usando a fórmula. Por exemplo:
  • No ponto :
  • No ponto : Aqui a fórmula fica , que é indefinida. Isso significa que a inclinação não está definida nesse ponto.
  • No ponto :

Passo 5

Depois de calcular em vários pontos, desenhamos pequenas linhas com essas inclinações em cada ponto correspondente no plano. Por exemplo, no ponto , desenhamos uma linha com inclinação 1 (uma linha que sobe 45 graus).

Passo 6

Repetimos esse processo para vários pontos ao longo do plano para visualizar como as inclinações das soluções mudam de acordo com e . Isso nos dá uma ideia de como as curvas soluções se comportam sem realmente resolvê-las.

Resposta

O campo de direções da EDO é formado pelas inclinações calculadas em cada ponto usando a fórmula . Ao desenhar essas inclinações em vários pontos do plano, obtemos uma representação gráfica que mostra como as soluções da EDO se comportam.

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