Usando o teste de D © sumn=1^infty 1(n+1) 2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita e precisamos analisar se ela converge ou diverge usando o Teste de D’Alembert, também conhecido como Teste da Razão. Para isso, vamos precisar calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o termo geral da série:
an = 1(n+1) 2^n+1
Agora, encontramos o próximo termo da série:
an+1 = 1(n+2) 2^n+2

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo os valores de L = limn to infty | 1(n+2) 2^n+21(n+1) 2^n+1 | e :

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:
L = limn to infty | (n+1) 2^n+1(n+2) 2^n+2 |

Passo 5

Vamos analisar o limite:
L = limn to infty n+1(n+2) cdot 2
Dividindo numerador e denominador por L = limn to infty 1 + 1n(1 + 2n) cdot 2 = 1 + 0(1 + 0) cdot 2 = 12 :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

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