Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem linear. Para resolver, vamos precisar identificar os componentes da equação e aplicar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante fica:
Como
geralmente é positivo em problemas desse tipo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos dá:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada de
. Vamos verificar:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Calculando as integrais:
Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Usando o teste de D (j)
Determine o campo de direções da EDO
.
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d)
(d)
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.