Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO d/dx y - 2y/x = x^2 + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem linear. Para resolver, vamos precisar identificar os componentes da equação e aplicar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante fica:
Como geralmente é positivo em problemas desse tipo, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos dá:

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada de . Vamos verificar:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Calculando as integrais:
Então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Usando o teste de D (j) sumn=1^infty 3 n+12^n
Determine o campo de direções da EDO y' = x^2 / (1 - y^2).
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d) sumn=1^infty n^4 n-nraizn^10 n+1
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
d y/d x = - (2 x sen(y) + e^x cos(y)) / (x^2 cos(y) - e^x sen(y))