Usando o teste de D (j) sumn=1^infty 3 n+12^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão, que nos ajuda a saber se uma série converge ou diverge analisando o limite das razões entre termos consecutivos. Precisamos calcular esse limite para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que pede para calcularmos o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 4

Vamos substituir an+1 = 3(n+1) + 12^n+1 = 3n + 42^n+1 e an+1an = 3n + 42^n+13n + 12^n = 3n + 42^n+1 times 2^n3n + 1 = 3n + 4(3n + 1) times 2 :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = 3n + 42(3n + 1) = 3n + 46n + 2

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 3n + 46n + 2 tende ao infinito:
L = limn to infty 3 + 4n6 + 2n = 3 + 06 + 0 = 36 = 12
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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