Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO d y/d x = x^2/y

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo . O conteúdo que vamos usar aqui é o método das variáveis separáveis, que é uma técnica para resolver EDOs onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação para integrar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por e por para isolar e :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar antiderivadas para cada parte:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para deixar a solução mais arrumada, vamos resolver para . Multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar o denominador:
Aqui, é apenas uma nova constante de integração.

Passo 5

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para isolar :

Resposta

A solução geral da EDO pelo método das variáveis separáveis é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(o) sumn=1^infty 2+cos nn^2
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i) sumn=1^infty 14 n+7
Usando o teste de D © sumn=1^infty 1(n+1) 2^n+1
Determine o campo de direções da EDO y' = x^2 / (1 - y^2).