Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método das variáveis separáveis, que é uma técnica para resolver EDOs onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para integrar cada uma delas separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
e por
para isolar
e
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar antiderivadas para cada parte:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para deixar a solução mais arrumada, vamos resolver para
. Multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar o denominador:
Aqui,
é apenas uma nova constante de integração.
Passo 5
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para isolar
:
Resposta
A solução geral da EDO
pelo método das variáveis separáveis é:
onde
é a constante de integração.
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Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(o)
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Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i)
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Usando o teste de D ©
Determine o campo de direções da EDO
.