Determine o campo elétrico
gerado pela carga
, ou seja, o campo elétrico associado ao potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o campo elétrico
gerado por uma carga
, que está relacionado ao potencial elétrico
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico. Para isso, vamos precisar saber como calcular o campo elétrico a partir do potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela seguinte relação vetorial:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente,
, nos dá a taxa de variação do potencial em cada direção espacial.
Passo 3
Vamos considerar que a carga
está localizada na origem do sistema de coordenadas (
) e que o potencial elétrico devido a essa carga é dado por:
onde
é a constante eletrostática (
) e
é a distância da carga até o ponto
, calculada por:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente de
. Em coordenadas cartesianas, o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Similarmente, para
e
:
Passo 6
Agora, juntando tudo para formar o gradiente:
onde
.
Passo 7
Lembrando da relação
, temos:
Resposta
O campo elétrico gerado pela carga
é dado por:
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de
onde é possível atribuir o potencial elétrico
, ou seja, determine o domínio da função
que pode dizer sobre o seguinte limite
U é uma função diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Calcule os seguintes limites:
Na teoria da relatividade restrita, existe o conceito de massa relativística de uma partícula, que é uma grandeza que aumenta com a velocidade da partícula e depende do referencial. Ela pode ser calculada a partir da velocidade com a seguinte fórmula:
Aqui
é a massa em repouso, c é a velocidade da luz no vácuo (uma constante) e
é a velocidade em relação ao observador. Esboce o gráfico de
(isto é, massa como função da velocidade).