Determine o campo elétrico E_Q(x, y, z) gerado pela carga Q, ou seja, o campo elétrico associado ao potencial VQ(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o campo elétrico gerado por uma carga , que está relacionado ao potencial elétrico . Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico. Para isso, vamos precisar saber como calcular o campo elétrico a partir do potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela seguinte relação vetorial:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente, , nos dá a taxa de variação do potencial em cada direção espacial.

Passo 3

Vamos considerar que a carga está localizada na origem do sistema de coordenadas ( ) e que o potencial elétrico devido a essa carga é dado por:
onde é a constante eletrostática ( ) e é a distância da carga até o ponto , calculada por:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de . Em coordenadas cartesianas, o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :
Similarmente, para e :

Passo 6

Agora, juntando tudo para formar o gradiente:
onde .

Passo 7

Lembrando da relação , temos:

Resposta

O campo elétrico gerado pela carga é dado por:

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