U é uma função diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma função chamada
que está definida no espaço
, ou seja, ela recebe dois números reais como entrada. A pergunta é:
é uma função diferenciável em
? Para responder isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e quais condições devem ser satisfeitas para que isso aconteça.
Passo 2
Para determinar se
é diferenciável em
, precisamos verificar se ela possui derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e se essas derivadas são contínuas. Em termos mais simples, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se conseguimos aproximá-la por um plano linear nessa vizinhança.
Passo 3
Vamos lembrar que uma função
é diferenciável em um ponto
se as seguintes condições forem satisfeitas:
- As derivadas parciais de
em relação a e existem em . - As derivadas parciais são contínuas próximo a
.
Se essas condições forem atendidas em todo o domínio
, então
é diferenciável em
.
Passo 4
Sem a expressão específica de
, não podemos calcular as derivadas parciais diretamente. No entanto, podemos falar sobre o processo geral:
-
Existência das Derivadas Parciais: Verificamos se ao derivar
em relação a e em relação a , obtemos funções que existem para todos os pontos em . -
Continuidade das Derivadas Parciais: Depois de encontrar as derivadas parciais, precisamos checar se essas funções derivadas não apresentam saltos ou quebras, ou seja, se são contínuas em todo o domínio.
Passo 5
Se tivermos a expressão de
, seguiríamos os seguintes passos:
- Calcular
e . - Verificar se essas derivadas existem para todo
em . - Analisar a continuidade dessas derivadas em
.
Se todas essas etapas forem concluídas com sucesso, podemos afirmar que
é diferenciável em
.
Resposta
Sem a expressão específica de
, não podemos concluir se ela é diferenciável em
. É necessário conhecer a forma da função
para calcular suas derivadas parciais e verificar a continuidade dessas derivadas no domínio.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
Seja
, um vetor constante. Se
é a função definida por
para todo
, determine em quais pontos
é diferenciável e calcule a derivada em cada um desses pontos.
Determine o conjunto dos pontos de
onde é possível atribuir o potencial elétrico
, ou seja, determine o domínio da função
que pode dizer sobre o seguinte limite
Determine o campo elétrico
gerado pela carga
, ou seja, o campo elétrico associado ao potencial
.