U é uma função diferenciável em R^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma função chamada que está definida no espaço , ou seja, ela recebe dois números reais como entrada. A pergunta é: é uma função diferenciável em ? Para responder isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e quais condições devem ser satisfeitas para que isso aconteça.

Passo 2

Para determinar se é diferenciável em , precisamos verificar se ela possui derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e se essas derivadas são contínuas. Em termos mais simples, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se conseguimos aproximá-la por um plano linear nessa vizinhança.

Passo 3

Vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. As derivadas parciais de em relação a e existem em .
  2. As derivadas parciais são contínuas próximo a .
Se essas condições forem atendidas em todo o domínio , então é diferenciável em .

Passo 4

Sem a expressão específica de , não podemos calcular as derivadas parciais diretamente. No entanto, podemos falar sobre o processo geral:
  • Existência das Derivadas Parciais: Verificamos se ao derivar em relação a e em relação a , obtemos funções que existem para todos os pontos em .
  • Continuidade das Derivadas Parciais: Depois de encontrar as derivadas parciais, precisamos checar se essas funções derivadas não apresentam saltos ou quebras, ou seja, se são contínuas em todo o domínio.

Passo 5

Se tivermos a expressão de , seguiríamos os seguintes passos:
  1. Calcular e .
  2. Verificar se essas derivadas existem para todo em .
  3. Analisar a continuidade dessas derivadas em .
Se todas essas etapas forem concluídas com sucesso, podemos afirmar que é diferenciável em .

Resposta

Sem a expressão específica de , não podemos concluir se ela é diferenciável em . É necessário conhecer a forma da função para calcular suas derivadas parciais e verificar a continuidade dessas derivadas no domínio.

Exercícios relacionados

Encontre y' e y''. y = x^2 ln(2 x)
Seja v em R^m, um vetor constante. Se F: R^n -> R^m é a função definida por F = v(x) para todo x em R^n, determine em quais pontos F = vetor(F) é diferenciável e calcule a derivada em cada um desses pontos.
Determine o conjunto dos pontos de R^3 onde é possível atribuir o potencial elétrico VQ, ou seja, determine o domínio da função VQ O que pode dizer sobre o seguinte limite
lim (x, y, z) (0,0,0) VQ(x, y, z)
Determine o campo elétrico E_Q(x, y, z) gerado pela carga Q, ou seja, o campo elétrico associado ao potencial VQ(x, y, z).