Determine o conjunto dos pontos de R^3 onde é possível atribuir o potencial elétrico VQ, ou seja, determine o domínio da função VQ O que pode dizer sobre o seguinte limite
lim (x, y, z) (0,0,0) VQ(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar onde em todo o espaço tridimensional ( R^3) é possível definir o potencial elétrico VQ. Ou seja, vamos descobrir o domínio dessa função. Além disso, queremos analisar o que acontece com VQ quando nos aproximamos do ponto (0,0,0). Para resolver isso, vamos precisar saber sobre potencial elétrico e domínio de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial elétrico V criado por uma carga Q em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
V(x, y, z) = 14pi varepsilon0 cdot Qr
onde:
  • Q é a carga elétrica,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • r é a distância do ponto (x, y, z) até a carga.

Passo 3

A distância r é calculada pela fórmula:
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Isso representa a distância do ponto (x, y, z) até a origem (0,0,0), assumindo que a carga Q está localizada na origem.

Passo 4

Para determinar o domínio do VQ, ou seja, onde o potencial elétrico está definido, precisamos ver onde a fórmula acima faz sentido matematicamente. Observando a fórmula:
V(x, y, z) = 14pi varepsilon0 cdot Qraizx^2 + y^2 + z^2
Vemos que o denominador raizx^2 + y^2 + z^2 não pode ser igual a zero, porque isso causaria uma divisão por zero, que é indefinida.

Passo 5

Então, o potencial elétrico VQ está definido em todos os pontos do espaço tridimensional menos na origem, onde a carga está localizada. Portanto, o domínio de VQ é:
R^3 setminus (0,0,0)
Isso significa que podemos atribuir um valor de potencial elétrico a qualquer ponto no espaço, desde que não estejamos exatamente na posição da carga.

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite do potencial elétrico quando nos aproximamos da origem (0,0,0):
lim (x, y, z) (0,0,0) VQ(x, y, z)
Substituindo a expressão de VQ:
lim (x, y, z) (0,0,0) 14pi varepsilon0 cdot Qraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 7

Ao nos aproximarmos da origem, a distância r = raizx^2 + y^2 + z^2 tende a zero. Portanto, a fração Qr tende a infinito, já que estamos dividindo uma constante Q por um número que se aproxima de zero. Assim:
lim r 0 Qr = +infty (se Q > 0) ou -infty (se Q < 0)

Resposta

Portanto, o domínio da função VQ é todo o espaço tridimensional R^3 menos o ponto (0,0,0). Além disso, o limite do potencial elétrico VQ quando nos aproximamos da origem é infinito:
lim (x, y, z) (0,0,0) VQ(x, y, z) = infty

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