Determine o conjunto dos pontos de
onde é possível atribuir o potencial elétrico
, ou seja, determine o domínio da função
que pode dizer sobre o seguinte limite
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar onde em todo o espaço tridimensional (
) é possível definir o potencial elétrico
. Ou seja, vamos descobrir o domínio dessa função. Além disso, queremos analisar o que acontece com
quando nos aproximamos do ponto
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre potencial elétrico e domínio de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial elétrico
criado por uma carga
em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
onde:
-
é a carga elétrica, -
é a permissividade do vácuo, -
é a distância do ponto até a carga.
Passo 3
A distância
é calculada pela fórmula:
Isso representa a distância do ponto
até a origem
, assumindo que a carga
está localizada na origem.
Passo 4
Para determinar o domínio do
, ou seja, onde o potencial elétrico está definido, precisamos ver onde a fórmula acima faz sentido matematicamente. Observando a fórmula:
Vemos que o denominador
não pode ser igual a zero, porque isso causaria uma divisão por zero, que é indefinida.
Passo 5
Então, o potencial elétrico
está definido em todos os pontos do espaço tridimensional menos na origem, onde a carga está localizada. Portanto, o domínio de
é:
Isso significa que podemos atribuir um valor de potencial elétrico a qualquer ponto no espaço, desde que não estejamos exatamente na posição da carga.
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite do potencial elétrico quando nos aproximamos da origem
:
Substituindo a expressão de
:
Passo 7
Ao nos aproximarmos da origem, a distância
tende a zero. Portanto, a fração
tende a infinito, já que estamos dividindo uma constante
por um número que se aproxima de zero. Assim:
Resposta
Portanto, o domínio da função
é todo o espaço tridimensional
menos o ponto
. Além disso, o limite do potencial elétrico
quando nos aproximamos da origem é infinito:
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U é uma função diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Encontre
e
.
Determine o campo elétrico
gerado pela carga
, ou seja, o campo elétrico associado ao potencial
.
Calcule os seguintes limites: