Determine o campo elétrico no ponto
, sabendo que o potencial elétrico produzido por uma certa distribuicão de carga, na região onde está localizado o ponto, é dado por
volts
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico no ponto
, sabendo que o potencial elétrico nessa região é dado por
volts. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
através da seguinte fórmula:
Aqui,
representa o gradiente do potencial elétrico, que basicamente indica como o potencial muda no espaço. O sinal negativo mostra que o campo elétrico aponta na direção onde o potencial diminui.
Passo 3
Vamos entender o que é o gradiente. Em coordenadas cartesianas
, o gradiente de
é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Observando a expressão do potencial
, percebemos que
depende apenas da variável
. Portanto, as derivadas parciais em relação a
e
são zero:
A única derivada que precisamos calcular é a de
em relação a
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Usando a regra da cadeia para derivação, temos:
Aplicando isso aos dois termos:
Agora, substituímos
:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é: