Determine o campo elétrico no ponto (3,4,5), sabendo que o potencial elétrico produzido por uma certa distribuicão de carga, na região onde está localizado o ponto, é dado por V=raizz^2+25+raizz^2+16 volts

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico no ponto , sabendo que o potencial elétrico nessa região é dado por volts. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico através da seguinte fórmula:
Aqui, representa o gradiente do potencial elétrico, que basicamente indica como o potencial muda no espaço. O sinal negativo mostra que o campo elétrico aponta na direção onde o potencial diminui.

Passo 3

Vamos entender o que é o gradiente. Em coordenadas cartesianas nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z ) , o gradiente de é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Observando a expressão do potencial partial Vpartial x = 0 e partial Vpartial y = 0 , percebemos que depende apenas da variável . Portanto, as derivadas parciais em relação a e são zero:
A única derivada que precisamos calcular é a de em relação a .

Passo 5

Vamos calcular partial Vpartial z = ddz ( raizz^2 + 25 ) + ddz ( raizz^2 + 16 ) :
ddz ( raizz^2 + a^2 ) = zraizz^2 + a^2
Usando a regra da cadeia para derivação, temos:
partial Vpartial z = zraizz^2 + 25 + zraizz^2 + 16
Aplicando isso aos dois termos:
partial Vpartial z = 5raiz5^2 + 25 + 5raiz5^2 + 16 = 5raiz50 + 5raiz41 = 55raiz2 + 5raiz41 = 1raiz2 + 5raiz41
Agora, substituímos :

Resposta

O campo elétrico no ponto E = -nabla V = ( 0, , 0, , -( 1raiz2 + 5raiz41 ) ) , V/m é:

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