Qual a energia máxima que pode ser armazenada em um capacitor de placas paralelas, de área 0,11 m^2 e distância de 2 mm , contendo um dielétrico com constante dielétrica k=5,5, se um campo elétrico entre as placas não pode atingir um valor superior a 1000 kV / m.?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores! A gente tem um capacitor de placas paralelas com uma área de 0,11 , m^2, distância entre as placas de 2 mm, e um material dielétrico com constante k = 5,5. A restrição é que o campo elétrico entre as placas não pode passar de 1000 , kV/m. Nosso objetivo é descobrir qual é a energia máxima que esse capacitor pode armazenar. Para isso, vamos usar conceitos de capacitores, campo elétrico e energia armazenada.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o campo elétrico ( E) com a tensão ( V) aplicada no capacitor. A fórmula que conecta esses dois é:
E = Vd
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • V é a tensão,
  • d é a distância entre as placas.
Queremos encontrar a tensão máxima que o capacitor pode suportar sem ultrapassar o campo elétrico permitido. Então, rearranjando a fórmula:
Vmax = Emax times d

Passo 3

Vamos calcular Vmax. Primeiro, convertemos a distância d de milímetros para metros:
d = 2 , mm = 0,002 , m
Agora, usando Emax = 1000 , kV/m = 1,000,000 , V/m:
Vmax = 1,000,000 , V/m times 0,002 , m = 2000 , V

Passo 4

Agora, vamos calcular a capacitância ( C) do capacitor. A fórmula para um capacitor com dielétrico é:
C = k times varepsilon0 times Ad
Onde:
  • k é a constante dielétrica,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , F/m),
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
Substituindo os valores:
C = 5,5 times 8,85 times 10^-12 , F/m times 0,11 , m^20,002 , m

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos Ad:
0,110,002 = 55 , m
Agora, multiplicamos por varepsilon0:
8,85 times 10^-12 , F/m times 55 , m = 4,8675 times 10^-10 , F
Por fim, multiplicamos por k:
C = 5,5 times 4,8675 times 10^-10 , F = 2,6771 times 10^-9 , F
Ou seja, C approx 2,68 times 10^-9 , F.

Passo 6

Agora, vamos determinar a energia máxima ( U) que pode ser armazenada no capacitor. A fórmula para a energia armazenada é:
U = 12 C V^2
Onde:
  • C é a capacitância,
  • V é a tensão.
Substituindo os valores que já encontramos:
U = 12 times 2,68 times 10^-9 , F times (2000 , V)^2

Passo 7

Calculando:
Primeiro, elevamos a tensão ao quadrado:
(2000)^2 = 4,000,000 , V^2
Agora, multiplicamos por C:
2,68 times 10^-9 , F times 4,000,000 , V^2 = 0,01072 , J
Por fim, multiplicamos por 12:
U = 12 times 0,01072 , J = 0,00536 , J

Resposta

A energia máxima que pode ser armazenada no capacitor é de aproximadamente 0,00536 , J.

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