Três cilindros plásticos sólidos idênticos têm raio de
e comprimento de
. Um (a) tem carga por unidade de área de
espalhada uniformemente sobre sua superfície. Um outro (b) tem a mesma carga por unidade de área apenas sobre a sua superfície lateral. O terceiro © tem carga uniforme por unidade de volume de
por todo o plástico. Encontre a carga de cada cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três cilindros plásticos idênticos, cada um com raio de
e comprimento de
. A diferença entre eles está na distribuição de carga:
- Cilindro (a): Carga por unidade de área de
espalhada de modo uniforme sobre toda a superfície. - Cilindro (b): Mesma carga por unidade de área, mas só na superfície lateral.
- Cilindro ©: Carga uniformemente distribuída por unidade de volume de
por todo o plástico.
Vamos usar conceitos de geometria dos cilindros e distribuição de carga para calcular a carga total de cada cilindro.
Passo 2
Vamos começar com o Cilindro (a), onde a carga está distribuída uniformemente sobre toda a superfície.
Primeiro, precisamos calcular a área total da superfície do cilindro. A área total (
) de um cilindro é a soma da área lateral (
) e das áreas das duas bases (
).
A fórmula para a área lateral é:
E para as duas bases:
Onde:
-
é o raio -
é a altura (ou comprimento) do cilindro
Vamos calcular:
Calculando a área lateral:
Calculando as áreas das bases:
Então, a área total é:
Agora, sabendo que a carga por unidade de área é
, a carga total (
) é:
Passo 3
Agora, vamos para o Cilindro (b), onde a carga está apenas na superfície lateral.
Já calculamos a área lateral:
Com a mesma densidade de carga:
Passo 4
Por último, vamos calcular a carga no Cilindro ©, que tem carga distribuída uniformemente por unidade de volume.
Primeiro, precisamos calcular o volume (
) do cilindro:
Substituindo os valores:
Com a densidade de carga por volume de
:
Resposta
As cargas de cada cilindro são aproximadamente:
- Cilindro (a):
- Cilindro (b):
- Cilindro ©: