Três cilindros plásticos sólidos idênticos têm raio de 2,50 cm e comprimento de 6,00 cm. Um (a) tem carga por unidade de área de 15,0 nC / m^2 espalhada uniformemente sobre sua superfície. Um outro (b) tem a mesma carga por unidade de área apenas sobre a sua superfície lateral. O terceiro © tem carga uniforme por unidade de volume de 500 nC / m^3 por todo o plástico. Encontre a carga de cada cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três cilindros plásticos idênticos, cada um com raio de e comprimento de . A diferença entre eles está na distribuição de carga:
  • Cilindro (a): Carga por unidade de área de espalhada de modo uniforme sobre toda a superfície.
  • Cilindro (b): Mesma carga por unidade de área, mas só na superfície lateral.
  • Cilindro ©: Carga uniformemente distribuída por unidade de volume de por todo o plástico.
Vamos usar conceitos de geometria dos cilindros e distribuição de carga para calcular a carga total de cada cilindro.

Passo 2

Vamos começar com o Cilindro (a), onde a carga está distribuída uniformemente sobre toda a superfície.
Primeiro, precisamos calcular a área total da superfície do cilindro. A área total ( Alateral = 2pi r h ) de um cilindro é a soma da área lateral ( Abases = 2 times pi r^2 ) e das áreas das duas bases ( r = 2,50 , cm = 0,025 , m ).
A fórmula para a área lateral é:
h = 6,00 , cm = 0,06 , m
E para as duas bases:
Alateral = 2 times pi times 0,025 times 0,06 approx 0,00942 , m^2
Onde:
  • Abases = 2 times pi times (0,025)^2 approx 0,003927 , m^2 é o raio
  • Atotal = 0,00942 + 0,003927 approx 0,01335 , m^2 é a altura (ou comprimento) do cilindro
Vamos calcular:
Qa = 15,0 times 10^-9 , C/m^2 times 0,01335 , m^2 approx 2,0025 times 10^-10 , C
Calculando a área lateral:
Calculando as áreas das bases:
Então, a área total é:
Agora, sabendo que a carga por unidade de área é , a carga total ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos para o Cilindro (b), onde a carga está apenas na superfície lateral.
Já calculamos a área lateral:
Alateral = 0,00942 , m^2
Com a mesma densidade de carga:
Qb = 15,0 times 10^-9 , C/m^2 times 0,00942 , m^2 approx 1,413 times 10^-10 , C

Passo 4

Por último, vamos calcular a carga no Cilindro ©, que tem carga distribuída uniformemente por unidade de volume.
Primeiro, precisamos calcular o volume ( V = pi r^2 h ) do cilindro:
V = pi times (0,025)^2 times 0,06 approx 0,0001178 , m^3
Substituindo os valores:
Qc = 500 times 10^-9 , C/m^3 times 0,0001178 , m^3 approx 5,89 times 10^-5 , C
Com a densidade de carga por volume de :

Resposta

As cargas de cada cilindro são aproximadamente:
  • Cilindro (a):
  • Cilindro (b):
  • Cilindro ©:

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