Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo
, estendendo-se de
até o infinito positivo. A linha é carregada com densidade linear uniforme
. Quais são a magnitude e a direção do campo elétrico na origem?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a magnitude e a direção do campo elétrico na origem, causado por uma linha de carga que se estende do ponto
até o infinito positivo ao longo do eixo
. A densidade linear de carga dessa linha é uniforme e igual a
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb para distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua pode ser encontrado integrando os campos produzidos por pequenos elementos de carga ao longo da distribuição. No nosso caso, a linha de carga é semi-infinita, então precisamos integrar de
até
.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de carga
localizado em uma posição
na linha de carga. A quantidade de carga desse elemento é dada por:
onde
é um pequeno trecho da linha de carga.
Passo 4
O campo elétrico produzido por esse elemento de carga
na origem pode ser calculado pela Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre o elemento de carga e a origem. Como estamos ao longo do eixo
,
.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
na origem, precisamos integrar
de
até
:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Passo 8
Agora, vamos determinar a direção do campo elétrico. Como a linha de carga está no eixo
e se estende para
, o campo elétrico na origem será direcionado negativamente ao longo do eixo
(ou seja, na direção de
), pois as cargas positivas empurram as linhas de campo para longe delas.
Resposta
A magnitude do campo elétrico na origem é
e sua direção é ao longo do eixo
na direção negativa.