Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo , estendendo-se de até o infinito positivo. A linha é carregada com densidade linear uniforme . Quais são a magnitude e a direção do campo elétrico na origem?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a magnitude e a direção do campo elétrico na origem, causado por uma linha de carga que se estende do ponto até o infinito positivo ao longo do eixo . A densidade linear de carga dessa linha é uniforme e igual a . Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb para distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua pode ser encontrado integrando os campos produzidos por pequenos elementos de carga ao longo da distribuição. No nosso caso, a linha de carga é semi-infinita, então precisamos integrar de até .

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de carga localizado em uma posição na linha de carga. A quantidade de carga desse elemento é dada por:
onde é um pequeno trecho da linha de carga.

Passo 4

O campo elétrico produzido por esse elemento de carga na origem pode ser calculado pela Lei de Coulomb:
onde é a distância entre o elemento de carga e a origem. Como estamos ao longo do eixo , .

Passo 5

Substituindo e na expressão de , temos:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total na origem, precisamos integrar de até :

Passo 7

Resolvendo a integral:

Passo 8

Agora, vamos determinar a direção do campo elétrico. Como a linha de carga está no eixo e se estende para , o campo elétrico na origem será direcionado negativamente ao longo do eixo (ou seja, na direção de ), pois as cargas positivas empurram as linhas de campo para longe delas.

Resposta

A magnitude do campo elétrico na origem é e sua direção é ao longo do eixo na direção negativa.

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