Determine o campo das seguintes equações:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais do primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação para encontrar uma expressão para
, ou seja, como
varia em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Isso nos dá uma equação diferencial na forma:
Onde
. Essa forma é útil para análise do campo de direções, que nos mostra a inclinação da solução
em cada ponto
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o campo de direções. É uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções da equação diferencial em diferentes pontos do plano
. Cada pequeno segmento no gráfico tem uma inclinação dada por
.
Para a nossa equação:
Isso significa que, para cada par
, a inclinação da solução
naquele ponto será
.
Passo 4
Embora não possamos desenhar o campo de direções aqui, podemos descrever como ele se comporta em algumas regiões:
-
Quando
: Então, na linha, a inclinação é 0. Isso indica que é uma solução constante. -
Para valores pequenos de
(próximos de 0): Comopara pequeno, Dependendo do valor de, a inclinação pode ser positiva ou negativa. -
Para valores grandes de
: O termooscila entre -1 e 1, enquanto cresce rapidamente. Portanto, para grandes, o termo predomina, fazendo com que a inclinação seja fortemente negativa (se ) ou fortemente positiva (se ).
Passo 5
Para visualizar completamente o campo de direções, normalmente utilizaríamos ferramentas gráficas ou software de matemática que plote as inclinações para diferentes pontos
. No entanto, a descrição acima nos dá uma ideia geral de como as soluções podem se comportar em diferentes regiões.
Resposta
O campo de direções para a equação
é dado por:
Este campo indica como as soluções
se inclinam em cada ponto
, variando de acordo com os valores de
e
.
Exercícios relacionados
Determine o campo das seguintes equações:
©
©
Encontre a curvatura da curva
no ponto
.
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e
.
(a)
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo
, onde
. Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?