Determine o campo das seguintes equações:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais do primeiro grau. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação para encontrar uma expressão para , ou seja, como varia em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar :
Isso nos dá uma equação diferencial na forma:
Onde . Essa forma é útil para análise do campo de direções, que nos mostra a inclinação da solução em cada ponto .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o campo de direções. É uma representação gráfica que mostra as inclinações das soluções da equação diferencial em diferentes pontos do plano . Cada pequeno segmento no gráfico tem uma inclinação dada por .
Para a nossa equação:
Isso significa que, para cada par , a inclinação da solução naquele ponto será .

Passo 4

Embora não possamos desenhar o campo de direções aqui, podemos descrever como ele se comporta em algumas regiões:
  • Quando :
    Então, na linha , a inclinação é 0. Isso indica que é uma solução constante.
  • Para valores pequenos de (próximos de 0):
    Como para pequeno,
    Dependendo do valor de , a inclinação pode ser positiva ou negativa.
  • Para valores grandes de :
    O termo oscila entre -1 e 1, enquanto cresce rapidamente. Portanto, para grandes, o termo predomina, fazendo com que a inclinação seja fortemente negativa (se ) ou fortemente positiva (se ).

Passo 5

Para visualizar completamente o campo de direções, normalmente utilizaríamos ferramentas gráficas ou software de matemática que plote as inclinações para diferentes pontos . No entanto, a descrição acima nos dá uma ideia geral de como as soluções podem se comportar em diferentes regiões.

Resposta

O campo de direções para a equação é dado por:
Este campo indica como as soluções se inclinam em cada ponto , variando de acordo com os valores de e .

Exercícios relacionados

Determine o campo das seguintes equações:
©
Encontre a curvatura da curva no ponto .
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e .
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo , onde . Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?