Encontre a curvatura da curva
no ponto
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a curvatura da curva definida por
no ponto
. A curvatura é uma medida de quão “curvada” uma curva está em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a curvatura de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
. Dada a curva
, temos:
Resolvendo a primeira equação:
Portanto,
corresponde ao ponto
.
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos calcular as derivadas necessárias para a fórmula da curvatura. A fórmula para a curvatura
de uma curva paramétrica
é:
Vamos calcular
,
,
e
.
Primeiro, identifique
e
:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos
nas derivadas:
Passo 5
Agora, aplicamos os valores na fórmula da curvatura:
Simplificando
:
Então:
Resposta
A curvatura da curva no ponto
é
.
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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
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Determine o campo das seguintes equações:
©
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(b)
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