Encontre a curvatura da curva no ponto .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a curvatura da curva definida por no ponto . A curvatura é uma medida de quão “curvada” uma curva está em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a curvatura de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Dada a curva , temos:
Resolvendo a primeira equação:
Portanto, corresponde ao ponto .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos calcular as derivadas necessárias para a fórmula da curvatura. A fórmula para a curvatura de uma curva paramétrica é:
Vamos calcular , , e .
Primeiro, identifique e :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, substituímos nas derivadas:

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula da curvatura:
Simplificando :
Então:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
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Determine o campo das seguintes equações:
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(b)