Determine o campo das seguintes equações:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar o campo da equação diferencial . Isso significa que vamos estudar como as soluções dessa equação se comportam. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e como separar as variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos isolar (que é a derivada de em relação ao tempo ):

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial da forma . Nosso próximo passo é tentar separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação. A integral fica assim:
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

A integral não é uma integral que conseguimos resolver usando funções elementares (como polinômios, exponenciais, senos, etc.). Nesse caso, usamos uma função especial chamada Função Integral Exponencial, denotada por .
Fazendo a substituição , temos , e a integral se torna:

Passo 6

Voltando à nossa equação, temos:
Podemos reorganizar para expressar em função de :

Passo 7

Finalmente, para encontrar em função de , precisaríamos inverter a Função Integral Exponencial, o que não é possível de forma analítica. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
onde é a Função Integral Exponencial e é a constante de integração.

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Encontre a curvatura da curva no ponto .
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Determine o campo das seguintes equações:
(b)
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e .