Determine o campo das seguintes equações:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar o campo da equação diferencial
. Isso significa que vamos estudar como as soluções dessa equação se comportam. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e como separar as variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos isolar
(que é a derivada de
em relação ao tempo
):
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial da forma
. Nosso próximo passo é tentar separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação. A integral fica assim:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
A integral
não é uma integral que conseguimos resolver usando funções elementares (como polinômios, exponenciais, senos, etc.). Nesse caso, usamos uma função especial chamada Função Integral Exponencial, denotada por
.
Fazendo a substituição
, temos
, e a integral se torna:
Passo 6
Voltando à nossa equação, temos:
Podemos reorganizar para expressar
em função de
:
Passo 7
Finalmente, para encontrar
em função de
, precisaríamos inverter a Função Integral Exponencial, o que não é possível de forma analítica. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução geral da equação
é dada implicitamente por
onde
é a Função Integral Exponencial e
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre a curvatura da curva
no ponto
.
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Determine o campo das seguintes equações:
(b)
(b)
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e
.
(a)