Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) x' = raiz(1 - x^2) e x(0)=0 ; x(t)=sen(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função proposta é de fato uma solução para o Problema de Valor Inicial (PVI) dado. Esse PVI está relacionado a uma equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função proposta e ver se ela satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que precisamos calcular usando a função proposta . Sabemos que:
Então, a condição inicial está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos para a parte mais importante: verificar se a derivada de realmente iguala . Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular usando a função proposta. Substituindo :
Como pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de , precisamos considerar o domínio onde a solução está válida.

Passo 5

Assumindo que estamos considerando em um intervalo onde é não negativo (por exemplo, ), então . Dessa forma:
Portanto, a derivada de iguala nesse intervalo.

Resposta

Sim, a função satisfaz o PVI com .

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