Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função proposta é de fato uma solução para o Problema de Valor Inicial (PVI) dado. Esse PVI está relacionado a uma equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função proposta e ver se ela satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que precisamos calcular usando a função proposta . Sabemos que:
Então, a condição inicial está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos para a parte mais importante: verificar se a derivada de realmente iguala . Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular usando a função proposta. Substituindo :
Como pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de , precisamos considerar o domínio onde a solução está válida.

Passo 5

Assumindo que estamos considerando em um intervalo onde é não negativo (por exemplo, ), então . Dessa forma:
Portanto, a derivada de iguala nesse intervalo.

Resposta

Sim, a função satisfaz o PVI com .

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Determine o campo das seguintes equações:
(b)
Determine o campo das seguintes equações:
©
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo , onde . Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Funções de uma Variável, o conceito de derivada de uma função num ponto . Aplique a definição de derivada para calcular . Qual é a interpretação geométrica da derivada? Relacione derivadas e taxas de variação. Explique também por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função.