Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função proposta
é de fato uma solução para o Problema de Valor Inicial (PVI) dado. Esse PVI está relacionado a uma equação diferencial
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função proposta e ver se ela satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que precisamos calcular
usando a função proposta
. Sabemos que:
Então, a condição inicial
está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos para a parte mais importante: verificar se a derivada de
realmente iguala
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
usando a função proposta. Substituindo
:
Como
pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de
, precisamos considerar o domínio onde a solução está válida.
Passo 5
Assumindo que estamos considerando
em um intervalo onde
é não negativo (por exemplo,
), então
. Dessa forma:
Portanto, a derivada de
iguala
nesse intervalo.
Resposta
Sim, a função
satisfaz o PVI
com
.