Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função proposta
é de fato uma solução para o Problema de Valor Inicial (PVI) dado. Esse PVI está relacionado a uma equação diferencial
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função proposta e ver se ela satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que precisamos calcular
usando a função proposta
. Sabemos que:
Então, a condição inicial
está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos para a parte mais importante: verificar se a derivada de
realmente iguala
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
usando a função proposta. Substituindo
:
Como
pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de
, precisamos considerar o domínio onde a solução está válida.
Passo 5
Assumindo que estamos considerando
em um intervalo onde
é não negativo (por exemplo,
), então
. Dessa forma:
Portanto, a derivada de
iguala
nesse intervalo.
Resposta
Sim, a função
satisfaz o PVI
com
.
Exercícios relacionados
Determine o campo das seguintes equações:
(b)
(b)
Determine o campo das seguintes equações:
©
©
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo
, onde
. Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Funções de uma Variável, o conceito de derivada de uma função
num ponto
. Aplique a definição de derivada para calcular
. Qual é a interpretação geométrica da derivada? Relacione derivadas e taxas de variação. Explique também por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função.