Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo , onde . Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos explicar o conceito de limite usando o exemplo , onde . Além disso, vamos verificar se o ponto pertence ao domínio da função, se é importante que ele esteja no domínio, qual é o valor do limite e o que isso significa. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é limite, como identificar o domínio de uma função e simplificar expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Para descobrir se o ponto está no domínio da função, precisamos verificar se o denominador da fração é diferente de zero quando .

Passo 3

Substituindo por 2 no denominador: . Isso significa que quando , o denominador é zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Portanto, não pertence ao domínio da função.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite . O conceito de limite nos diz o valor que a função se aproxima quando se aproxima de 2, mesmo que a função não esteja definida exatamente em .

Passo 5

Para calcular o limite, podemos simplificar a expressão da função. Observamos que o numerador pode ser fatorado:
Então, a função fica:

Passo 6

Podemos cancelar o fator no numerador e denominador, mas lembrando que (porque no ponto a função não está definida):

Passo 7

Agora, calculamos o limite substituindo diretamente por 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 4. Isso significa que, mesmo que a função não esteja definida exatamente em , os valores de se aproximam de 4 quando se aproxima de 2.

Exercícios relacionados

Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e .
Determine o campo das seguintes equações:
(b)
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Funções de uma Variável, o conceito de derivada de uma função num ponto . Aplique a definição de derivada para calcular . Qual é a interpretação geométrica da derivada? Relacione derivadas e taxas de variação. Explique também por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função.
Explique ao tal colega de FUV o conceito de integral definida. Escreva e desenhe. Use os exemplos e , com .