Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo
, onde
. Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos explicar o conceito de limite usando o exemplo
, onde
. Além disso, vamos verificar se o ponto
pertence ao domínio da função, se é importante que ele esteja no domínio, qual é o valor do limite e o que isso significa. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é limite, como identificar o domínio de uma função e simplificar expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Para descobrir se o ponto
está no domínio da função, precisamos verificar se o denominador da fração é diferente de zero quando
.
Passo 3
Substituindo
por 2 no denominador:
. Isso significa que quando
, o denominador é zero, o que torna a função
indefinida nesse ponto. Portanto,
não pertence ao domínio da função.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite
. O conceito de limite nos diz o valor que a função se aproxima quando
se aproxima de 2, mesmo que a função não esteja definida exatamente em
.
Passo 5
Para calcular o limite, podemos simplificar a expressão da função. Observamos que o numerador
pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Passo 6
Podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, mas lembrando que
(porque no ponto
a função não está definida):
Passo 7
Agora, calculamos o limite substituindo diretamente
por 2 na expressão simplificada:
Resposta
O limite
é igual a 4. Isso significa que, mesmo que a função não esteja definida exatamente em
, os valores de
se aproximam de 4 quando
se aproxima de 2.
Exercícios relacionados
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e
.
(a)
Determine o campo das seguintes equações:
(b)
(b)
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Funções de uma Variável, o conceito de derivada de uma função
num ponto
. Aplique a definição de derivada para calcular
. Qual é a interpretação geométrica da derivada? Relacione derivadas e taxas de variação. Explique também por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função.
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e
, com
.