Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por uma função vetorial. No caso, a função é
para
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial
. A fórmula para o comprimento do arco
de
até
é:
Aqui,
é a derivada da função vetorial, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Temos:
Calculando cada componente:
Portanto, a derivada da função vetorial é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de
:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para encontrar o comprimento do caminho:
Essa integral pode parecer complicada, mas podemos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 6
Observamos que:
Portanto,
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Essa integral é mais fácil de resolver.
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um comprimento de arco, não precisamos da constante
. Avaliamos de
a
:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
unidades.
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Determine a curvatura máxima de
.
Encontre a curvatura da curva
no ponto
.
Determine o campo das seguintes equações:
©
©