Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
alpha(t) = (t, 3 t^2, 6 t^3), 0 <= t <= 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por uma função vetorial. No caso, a função é para 0 <= t <= 2. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função vetorial . A fórmula para o comprimento do arco L de até é:
Aqui, é a derivada da função vetorial, e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de alpha(t). Temos:
Calculando cada componente:
Portanto, a derivada da função vetorial é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de :
Podemos simplificar essa expressão:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para encontrar o comprimento do caminho:
Essa integral pode parecer complicada, mas podemos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 6

Observamos que:
Portanto,

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
Essa integral é mais fácil de resolver.

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um comprimento de arco, não precisamos da constante C. Avaliamos de 0 a :

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é unidades.

Exercícios relacionados