Uma partícula se move de uma posição inicial
com velocidade inicial
. Sua aceleração é dada por
. Determine sua velocidade e posição para um instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na posição inicial
e já está com uma velocidade inicial
. A aceleração dela muda com o tempo, sendo
. Nosso objetivo é descobrir as expressões para a velocidade
e para a posição
da partícula em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar
, precisamos integrar
com respeito a
e usar a condição inicial da velocidade.
Passo 3
Vamos integrar cada componente da aceleração:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Então, a velocidade fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para encontrar a posição
, vamos integrar a velocidade
com respeito ao tempo e usar a condição inicial da posição.
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração. Usando a condição inicial
:
Então, a posição fica:
Resposta
A velocidade da partícula no instante
é:
E a posição da partícula no instante
é: