Uma partícula se move de uma posição inicial com velocidade inicial . Sua aceleração é dada por . Determine sua velocidade e posição para um instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na posição inicial e já está com uma velocidade inicial . A aceleração dela muda com o tempo, sendo . Nosso objetivo é descobrir as expressões para a velocidade e para a posição da partícula em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar , precisamos integrar com respeito a e usar a condição inicial da velocidade.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da aceleração:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a velocidade fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar a posição , vamos integrar a velocidade com respeito ao tempo e usar a condição inicial da posição.
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração. Usando a condição inicial :
Então, a posição fica:

Resposta

A velocidade da partícula no instante é:
E a posição da partícula no instante é:

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Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor de posição dado por . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.
A figura mostra a curva com .
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Suponha que a temperatura em um ponto do espaço é dada por . Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula .
Determine o campo do vetor gradiente da função escalar em cada caso: