Uma partícula se move de uma posição inicial vec(r)(0) = (1, 0, 0) com velocidade inicial v(0) = i - j + k. Sua aceleração é dada por a(t) = 4t i + 6t j + k. Determine sua velocidade e posição para um instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na posição inicial e já está com uma velocidade inicial . A aceleração dela muda com o tempo, sendo . Nosso objetivo é descobrir as expressões para a velocidade vec(v)(t) e para a posição vec(r)(t) da partícula em qualquer instante t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar vec(v)(t), precisamos integrar a(t) com respeito a t e usar a condição inicial da velocidade.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da aceleração:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a velocidade fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar a posição vec(r)(t), vamos integrar a velocidade vec(v)(t) com respeito ao tempo e usar a condição inicial da posição.
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração. Usando a condição inicial :
Então, a posição fica:

Resposta

A velocidade da partícula no instante t é:
E a posição da partícula no instante t é:

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