Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(a) F(x, y) = (6x + 5y) i + (5x + 4y) j Resp: f = 3 x^2 + 5 x y + 2 y^2 + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, também vamos encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos conferir se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada derivada:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar usando a segunda equação:
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é:

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