Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial.
(a)
Resp:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também vamos encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, vamos conferir se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada derivada:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
usando a segunda equação:
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é: