Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício sobre Séries de Taylor. A função que vamos trabalhar é
, e o ponto de centragem é
. Para isso, precisamos encontrar a série de Taylor dessa função centrada em
e verificar se a função é igual à sua série de Taylor. Vamos precisar das derivadas da função e entender como montar a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico
. A fórmula geral da série de Taylor é:
Como nossa função é um polinômio de terceiro grau, a série de Taylor vai parar nos termos de ordem três, porque as derivadas seguintes serão zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
A partir da quarta derivada, todas as derivadas serão zero.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a série de Taylor até a terceira ordem:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Então, a série de Taylor da função
centrada em
é:
Passo 7
Agora, vamos verificar se a função é igual à sua série de Taylor. Observando a série que obtivemos:
Podemos expandir essa expressão para ver se ela realmente corresponde à função original:
Simplificando:
Resposta
A série de Taylor da função
centrada em
é:
E, conforme verificamos, a função é igual à sua série de Taylor.