Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
a) f(x) = x^3 - 2x + 4, a = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício sobre Séries de Taylor. A função que vamos trabalhar é , e o ponto de centragem é . Para isso, precisamos encontrar a série de Taylor dessa função centrada em e verificar se a função é igual à sua série de Taylor. Vamos precisar das derivadas da função e entender como montar a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor é:
Como nossa função é um polinômio de terceiro grau, a série de Taylor vai parar nos termos de ordem três, porque as derivadas seguintes serão zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
A partir da quarta derivada, todas as derivadas serão zero.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Função original:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a série de Taylor até a terceira ordem:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Então, a série de Taylor da função centrada em é:

Passo 7

Agora, vamos verificar se a função é igual à sua série de Taylor. Observando a série que obtivemos:
Podemos expandir essa expressão para ver se ela realmente corresponde à função original:
Simplificando:

Resposta

A série de Taylor da função centrada em é:
E, conforme verificamos, a função é igual à sua série de Taylor.

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