Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (1 + 4 x^3 y^3) i + 3 x^4 y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial é um campo vetorial conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar . Isso implica que as derivadas parciais cruzadas do campo devem ser iguais. Ou seja, se , então devemos ter:
Vamos verificar isso para o nosso campo.

Passo 3

Identificamos e a partir de :
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
Como , o campo satisfaz a condição de ser conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos mostra que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.

Resposta

Sim, é um campo vetorial conservativo. A função tal que é:

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Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = x^2 y^3 i + x^3 y^2 j
ao mover um objeto de P(0,0) a Q(2,1).
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y, z)=(2 x z+sen y) i+x cos y j+x^2 k,
C: r(t)=cos t i+sen t j+t k, 0 <= t <= 2 pi
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y * e^(x * y) + 4 * x^3 * y) * i + (x * e^(x * y) + x^4) * j
Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = e^(2y) i + (1 + 2x e^(2y)) j,
C: r(t) = t e^t i + (1+t) j, 0 <= t <= 1