Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é um campo vetorial conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar
. Isso implica que as derivadas parciais cruzadas do campo devem ser iguais. Ou seja, se
, então devemos ter:
Vamos verificar isso para o nosso campo.
Passo 3
Identificamos
e
a partir de
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Comparando as duas derivadas parciais:
Como
, o campo
satisfaz a condição de ser conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos mostra que
, então
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Resposta
Sim,
é um campo vetorial conservativo. A função
tal que
é:
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Encontre uma função
tal que
,