Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de campos vetoriais conservativos, que faz parte do Cálculo Vetorial. Precisamos verificar se o campo vetorial
dado é conservativo. Se for, vamos encontrar uma função
tal que
, onde
representa o gradiente de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
:
Onde:
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Vamos calcular cada uma delas.
Primeiro, calculemos
:
Agora, calculemos
:
Passo 4
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, portanto
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar.
Resposta
A função
tal que
é:
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
Encontre uma função
tal que
,
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.