Encontre uma função
tal que
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma função
tal que o vetor
. Isso significa que
é o gradiente de
. O gradiente é um conceito da Cálculo Vetorial que nos ajuda a encontrar funções potenciais. Vamos precisar usar integrais parciais para descobrir
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. O gradiente de
é dado por:
Então, se
, igualando as componentes:
Passo 3
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que a derivada em relação a
eliminou qualquer termo que fosse apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para determinar
. Sabemos que:
Substituindo
que encontramos:
Igualando com a segunda componente de
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão para
:
Como a constante
não afeta o gradiente, podemos simplesmente descartá-la para a função potencial.
Resposta
A função
que satisfaz
é:
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tal que
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