Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando movemos um objeto do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especificamente integrais de linha que ajudam a calcular o trabalho feito por um campo de força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por um campo de força
ao mover um objeto ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o vetor força,
é um pequeno deslocamento ao longo do caminho, e o ponto
representa o produto escalar.
Passo 3
Nosso campo de força é dado por:
E queremos mover o objeto do ponto
até
. Para simplificar, vamos escolher um caminho direto, uma linha reta que vai de
a
.
Passo 4
Vamos parametrizar o caminho
usando um parâmetro
que varia de 0 a 1. Assim, as equações paramétricas para a linha reta são:
onde
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
, que é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho. Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 6
Vamos substituir
e
no campo de força
:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Finalmente, integramos de
a
para encontrar o trabalho
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Resolva o PVI:
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.