utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha ∫₍C₎ F · dr ao longo da curva C. Aqui, F é um campo vetorial dado por:
E a curva C é parametrizada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a definição de integral de linha. Vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o campo vetorial F em termos da parametrização da curva C, isto é, substituir x, y e z por suas respectivas funções de t na parametrização.
Da parametrização:
Substituindo na F:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização da curva, ou seja, dr/dt. Isso nos dará o vetor tangente à curva C.
Derivando cada componente de r(t) em relação a t:
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar entre F(t) e dr/dt:
Simplificando termo a termo:
Passo 5
Finalmente, integramos a expressão resultante de t = 0 a t = 2π:
Para resolver essa integral, podemos notar que algumas partes são funções ímpares em relação ao intervalo [0, 2π] e se cancelam, enquanto outras podem ser integradas usando técnicas de integração conhecidas ou tabelas de integrais.
Após calcular a integral, obtemos o valor final.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de linha ∫₍C₎ F · dr ao longo da curva C é igual a 2π.
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tal que
,
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ao mover um objeto de
a
.
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.