Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função
tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e a existência de potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função
tal que
é o gradiente dessa função, ou seja,
. Isso significa que o campo não tem “redemoinhos” e que o trabalho feito por
ao mover uma partícula entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, uma das formas é calcular o rotacional de
, denotado por
. Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então
é conservativo.
O rotacional em duas dimensões é dado por:
onde
e
são as componentes de
nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, concluímos que
é um campo vetorial conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 7
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e surge como constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Simplificando:
Passo 9
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar removendo a constante
, já que a função potencial é definida até uma constante.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo. Uma função
tal que
é:
onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Encontre uma função
tal que
,
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o limite do semianel
contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.