utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, precisamos calcular a integral de linha
ao longo da curva
definida por , onde
. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de campos vetoriais ao longo de curvas. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, entender o campo vetorial
e aplicar as técnicas apropriadas para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial
. Aqui, o componente na direção
é
e o componente na direção
é
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
usando a função dada: . Isso significa que:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, pois elas nos ajudarão a encontrar
:
Passo 5
A integral de linha
pode ser reescrita em termos de
usando a parametrização:
Substituindo
,
,
e
, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Observando a complexidade da integral, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, precisamos checar se
:
Como são iguais, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
. A integral de linha, então, será simplesmente a diferença dos valores de
nos pontos final e inicial da curva.
Passo 8
Vamos encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Portanto, podemos tomar
.
Passo 9
Agora, avaliamos a função potencial nos pontos final e inicial da curva
:
-
Ponto Final (
): Então,. -
Ponto Inicial (
): Então,.
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
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Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Encontre uma função
tal que
,
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.