utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=2 x y^3 i+3 x^2 y^2 j,
C: r(t)=sen t i+(t^2+1) j, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C definida por , onde r(t) = sen t , i + (t^2 + 1) , j. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de campos vetoriais ao longo de curvas. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva 0 <= t <= pi2, entender o campo vetorial C e aplicar as técnicas apropriadas para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial F(x, y) = 2xy^3 , i + 3x^2y^2 , j. Aqui, o componente na direção i é P(x, y) = 2xy^3 e o componente na direção j é Q(x, y) = 3x^2y^2.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva C usando a função dada: . Isso significa que:
  • r(t) = sen t , i + (t^2 + 1) , j

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t, pois elas nos ajudarão a encontrar dr:
  • dxdt = cos t
  • dydt = 2t

Passo 5

A integral de linha integralC F cdot d r pode ser reescrita em termos de t usando a parametrização:
integral0^pi2 ( P(x(t), y(t)) cdot dxdt + Q(x(t), y(t)) cdot dydt ) dt
Substituindo P, Q, dxdt e dydt, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Observando a complexidade da integral, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Para isso, precisamos checar se partial Ppartial y = partial Qpartial x:
partial Ppartial y = 6xy^2 e partial Qpartial x = 6xy^2
Como são iguais, o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial Phi(x, y) tal que nabla Phi = F. A integral de linha, então, será simplesmente a diferença dos valores de Phi nos pontos final e inicial da curva.

Passo 8

Vamos encontrar a função potencial Phi(x, y) integrando P em relação a x:
Phi(x, y) = integral 2xy^3 , dx = x^2y^3 + g(y)
Agora, derivamos Phi em relação a y e igualamos a Q:
partial Phipartial y = 3x^2y^2 + g'(y) = 3x^2y^2
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é uma constante. Portanto, podemos tomar Phi(x, y) = x^2y^3.

Passo 9

Agora, avaliamos a função potencial nos pontos final e inicial da curva C:
  • Ponto Final ( t = pi2):
    x(pi2) = sen(pi2) = 1
    Então, y(pi2) = (pi2)^2 + 1 = pi^24 + 1 .
  • Ponto Inicial ( Phi(1, pi^24 + 1) = (1)^2(pi^24 + 1)^3 = (pi^24 + 1)^3):
    t = 0
    Então, x(0) = sen(0) = 0 .

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r é igual a ( dfracpi^24 + 1 )^3.

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