Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y, z) = 4 x e^z i + cos y j + 2 x^2 e^z k,
C: r(t) = t i + t^2 j + t^4 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar entender como integrar derivadas parciais para encontrar a função potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de é dado por:
Comparando com o campo vetorial :
Podemos igualar as componentes:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a para encontrar uma parte de :
Aqui, é uma função que depende de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Por fim, vamos usar a terceira equação para determinar :
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante ou absorvê-la na função .

Resposta

A função que satisfaz é:
Onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=2 x y^3 i+3 x^2 y^2 j,
C: r(t)=sen t i+(t^2+1) j, 0 <= t <= pi / 2
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (e^(2x) + x sen(y)) i + x^2 cos(y) j
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x^2 + y) i + (y^2 + x) j
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
ointC y^2 d x+3 x y d y, C é o limite do semianel D contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;