Encontre uma função
tal que
,
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é encontrar uma função
tal que o campo vetorial
seja o gradiente de
, ou seja,
. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar entender como integrar derivadas parciais para encontrar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de
é dado por:
Comparando com o campo vetorial
:
Podemos igualar as componentes:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar uma parte de
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Por fim, vamos usar a terceira equação para determinar
:
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante ou absorvê-la na função
.
Resposta
A função
que satisfaz
é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o limite do semianel
contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;