Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
. Nosso objetivo é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar uma função
tal que
. Pra isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como identificar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, é aquele campo onde o trabalho feito ao mover de um ponto a outro não depende do caminho seguido. Matematicamente, um campo
é conservativo se existir uma função
tal que
e
. Outra forma de verificar se é conservativo é checando se
.
Passo 3
Vamos aplicar essa última ideia. Nosso
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais:
Agora, comparamos:
não é igual a
. Como
, concluímos que
não é um campo conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o limite do semianel
contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Encontre uma função
tal que
,
é o arco da parábola
de
a
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,