Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (3 x^2 - 4 y) i + (4 y^2 - 2 x) j

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial . Nosso objetivo é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar uma função tal que . Pra isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como identificar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, é aquele campo onde o trabalho feito ao mover de um ponto a outro não depende do caminho seguido. Matematicamente, um campo é conservativo se existir uma função tal que e . Outra forma de verificar se é conservativo é checando se .

Passo 3

Vamos aplicar essa última ideia. Nosso e . Precisamos calcular as derivadas parciais:
Agora, comparamos: não é igual a . Como , concluímos que não é um campo conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
ointC y^2 d x+3 x y d y, C é o limite do semianel D contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x^2 + y) i + (y^2 + x) j
Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = x i + y j,
C é o arco da parábola y = x^2 de (-1, 1) a (3,9)
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=e^2 y i+(1+2 x e^2 y) j,
C: r(t)=t e^t i+(1+t) j, 0 <= t <= 1