Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o limite do semianel
contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Green pra calcular uma integral de linha ao redor de uma curva C, que é o limite de um semianel no semiplano superior entre dois círculos com raios 1 e 2. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Vamos precisar identificar as funções que compõem a integral e transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D usando o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral de linha. A integral dada é:
Aqui, podemos ver que
e
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. O Teorema de Green diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
Agora, subtraindo:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Como a região D é um semianel no semiplano superior entre os círculos de raio 1 e 2, fica mais fácil resolver a integral em coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos
e
.
Passo 6
Vamos definir os limites de integração:
- O raio
vai de 1 a 2. - O ângulo
vai de 0 a (semiplano superior).
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em r:
Agora, integraremos em
:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Encontre uma função
tal que
,
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Encontre uma função
tal que
,
é o arco da parábola
de
a