Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
ointC y^2 d x+3 x y d y, C é o limite do semianel D contido no semiplano superior entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Green pra calcular uma integral de linha ao redor de uma curva C, que é o limite de um semianel no semiplano superior entre dois círculos com raios 1 e 2. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Vamos precisar identificar as funções que compõem a integral e transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral de linha. A integral dada é:
ointC y^2 dx + 3 x y dy
Aqui, podemos ver que e .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x (3xy) = 3y
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Agora, subtraindo:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3y - 2y = y

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD y , dA
Como a região D é um semianel no semiplano superior entre os círculos de raio 1 e 2, fica mais fácil resolver a integral em coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos e .

Passo 6

Vamos definir os limites de integração:
  • O raio integral0^pi integral1^2 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral1^2 r^2 sin theta , dr , dtheta vai de 1 a 2.
  • O ângulo vai de 0 a (semiplano superior).
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em r:
integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73
Agora, integraremos em 73 integral0^pi sin theta , dtheta = 73 [ -cos theta ]0^pi = 73 ( -(-1) - (-1) ) = 73 cdot 2 = 143 :

Resposta

A integral de linha vale .

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