Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com operações de derivadas em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.
Passo 2
Vamos começar calculando o rotacional de
. O rotacional, representado por
, nos dá uma ideia de quanto o campo está girando em torno de um ponto.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
-
Para
: Portanto: -
Para
: Portanto: -
Para
: Portanto:
Passo 4
Agora, juntando tudo, o rotacional de
é:
Passo 5
Vamos agora calcular o divergente de
, que é uma medida de quanto o campo está “espalhando” de um ponto. A fórmula para o divergente é:
Passo 6
Calculando cada derivada:
Passo 7
Somando tudo:
Resposta
O rotacional de
é:
E o divergente de
é: