Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado: F(x, y, z) = x y i + y z j + z x k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com operações de derivadas em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de . O rotacional, representado por , nos dá uma ideia de quanto o campo está girando em torno de um ponto.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:

Passo 3

Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Para :
    Portanto:
  2. Para :
    Portanto:
  3. Para :
    Portanto:

Passo 4

Agora, juntando tudo, o rotacional de é:

Passo 5

Vamos agora calcular o divergente de , que é uma medida de quanto o campo está “espalhando” de um ponto. A fórmula para o divergente é:

Passo 6

Calculando cada derivada:

Passo 7

Somando tudo:

Resposta

O rotacional de é:
E o divergente de é:

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