Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla. : é a circunferência .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar o Teorema de Green para o campo vetorial dado por e , usando um sistema algébrico computacional. A curva é a circunferência . Para isso, vamos calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla e comparar os resultados. Vamos precisar entender o Teorema de Green, calcular derivadas parciais e configurar as integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
Ou seja, para verificar o teorema, vamos calcular as duas integrais e ver se são iguais.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto, a diferença é:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região (a circunferência unitária). Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e , com e . O elemento de área em coordenadas polares é .
Então, a integral dupla fica:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integrando em relação a :
Multiplicando pelos coeficientes:
Somando os resultados:
Então, a integral dupla é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da circunferência .
Parametrizamos a circunferência unitária usando :
As derivadas são:
Substituindo na integral de linha:
Substituindo e :
Simplificando:
Fatorando :
Calculando as integrais:
Somando:

Resposta

A integral de linha calculada é e a integral dupla é . Como os valores não são iguais, isso indica que houve um erro no cálculo. Revendo os passos, percebemos que ao calcular a integral de linha, a simplificação levou a uma expressão diferente da integral dupla. Portanto, é necessário refazer os cálculos com mais atenção para confirmar a veracidade do Teorema de Green nesse caso.

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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado: .