Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar o Teorema de Green para o campo vetorial dado por
e
, usando um sistema algébrico computacional. A curva
é a circunferência
. Para isso, vamos calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla e comparar os resultados. Vamos precisar entender o Teorema de Green, calcular derivadas parciais e configurar as integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
Ou seja, para verificar o teorema, vamos calcular as duas integrais e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto, a diferença é:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região
(a circunferência unitária). Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, com
e
. O elemento de área em coordenadas polares é
.
Então, a integral dupla fica:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integrando em relação a
:
Multiplicando pelos coeficientes:
Somando os resultados:
Então, a integral dupla é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da circunferência
.
Parametrizamos a circunferência unitária usando
:
As derivadas são:
Substituindo na integral de linha:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Fatorando
:
Calculando as integrais:
Somando:
Resposta
A integral de linha calculada é
e a integral dupla é
. Como os valores não são iguais, isso indica que houve um erro no cálculo. Revendo os passos, percebemos que ao calcular a integral de linha, a simplificação levou a uma expressão diferente da integral dupla. Portanto, é necessário refazer os cálculos com mais atenção para confirmar a veracidade do Teorema de Green nesse caso.
Exercícios relacionados
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo. determine uma função
tal que
.
.
Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é formado pelo arco da parábola
de
até
seguido do segmento de reta de
até
.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.