Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função
tal que
. O que isso significa na prática é que vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o rotacional do campo vetorial é zero e, se for, integrar para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso implica que o rotacional de
deve ser zero, ou seja,
. Então, vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
Nosso campo vetorial é
. O rotacional de
,
, é dado por:
Onde
,
, e
.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
Passo 5
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 6
Como o rotacional de
é zero, isso significa que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função
tal que
.
Passo 7
Sabemos que
. Comparando com
, temos:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função que depende apenas de
e
.
Passo 8
Agora, vamos usar a segunda equação:
Comparando os dois lados, vemos que
, o que implica que
não depende de
, ou seja,
.
Passo 9
Agora, usamos a terceira equação:
Comparando, temos
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 10
Finalmente, a função
é:
Resposta
O campo vetorial é conservativo e uma função
tal que
é:
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Resolva.
Resolva.
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar
.
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar
.