Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função tal que . O que isso significa na prática é que vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com campos conservativos e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o rotacional do campo vetorial é zero e, se for, integrar para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso implica que o rotacional de deve ser zero, ou seja, . Então, vamos calcular o rotacional de .

Passo 3

Nosso campo vetorial é . O rotacional de , , é dado por:
Onde , , e .

Passo 4

Vamos calcular cada termo:

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 6

Como o rotacional de é zero, isso significa que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função tal que .

Passo 7

Sabemos que . Comparando com , temos:
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende apenas de e .

Passo 8

Agora, vamos usar a segunda equação:
Comparando os dois lados, vemos que , o que implica que não depende de , ou seja, .

Passo 9

Agora, usamos a terceira equação:
Comparando, temos , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 10

Finalmente, a função é:

Resposta

O campo vetorial é conservativo e uma função tal que é:

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Resolva.
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Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .