Determine .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o limite . Esse exercício está ligado ao estudo de limites e derivadas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas usando limites e aplicar algumas propriedades de potências e radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que esse limite está na forma da definição de derivada. Lembra que a derivada de uma função em um ponto é dada por:
Aqui, nossa função parece ser e o ponto onde vamos calcular a derivada é .

Passo 3

Vamos confirmar isso. Vamos definir . Então, queremos encontrar onde . Segundo a definição, temos:
Sabemos que , então o limite se torna exatamente o que precisamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da potência. Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos por na expressão da derivada para encontrar :

Passo 6

Vamos simplificar . Primeiro, aplicamos a propriedade das potências:
E sabemos que .

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
16.
Seja . A função é contínua em ? Justifique a sua resposta!
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
15.
Determine .