Determine lim h 0 raiz[5]5^5+h-5h.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o limite . Esse exercício está ligado ao estudo de limites e derivadas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas usando limites e aplicar algumas propriedades de potências e radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que esse limite está na forma da definição de derivada. Lembra que a derivada de uma função f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h em um ponto é dada por:
Aqui, nossa função parece ser e o ponto onde vamos calcular a derivada é .

Passo 3

Vamos confirmar isso. Vamos definir f'(5^5) = limh to 0 raiz[5]5^5 + h - raiz[5]5^5h . Então, queremos encontrar limh to 0 raiz[5]5^5 + h - 5h onde . Segundo a definição, temos:
Sabemos que , então o limite se torna exatamente o que precisamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx x^1/5 = 15 x^-4/5 . Para isso, usamos a regra da potência. Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos f'(5^5) = 15 (5^5)^-4/5 por na expressão da derivada para encontrar :

Passo 6

Vamos simplificar (5^5)^-4/5 = 5^5 times (-4/5) = 5^-4 . Primeiro, aplicamos a propriedade das potências:
E sabemos que .

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
f'(5^5) = 15 times 1625 = 13125

Resposta

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