Determine
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular o limite
. Esse exercício está ligado ao estudo de limites e derivadas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas usando limites e aplicar algumas propriedades de potências e radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que esse limite está na forma da definição de derivada. Lembra que a derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Aqui, nossa função parece ser
e o ponto onde vamos calcular a derivada é
.
Passo 3
Vamos confirmar isso. Vamos definir
. Então, queremos encontrar
onde
. Segundo a definição, temos:
Sabemos que
, então o limite se torna exatamente o que precisamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da potência. Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos
por
na expressão da derivada para encontrar
:
Passo 6
Vamos simplificar
. Primeiro, aplicamos a propriedade das potências:
E sabemos que
.
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Resposta
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.
16.
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Seja
. A função é contínua em
? Justifique a sua resposta!
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.
15.
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Determine
.