Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
15.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o campo vetorial dado é conservativo ou não. Se for conservativo, também precisamos encontrar uma função
tal que
. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que não importa o caminho que você escolha para ir de um ponto a outro no campo, o trabalho realizado será sempre o mesmo.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, vamos checar se ele satisfaz as condições de igualdade das derivadas cruzadas. Em outras palavras, as derivadas parciais misturadas devem ser iguais.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Como
(6xyz² ≠ 4xyz³), pelo menos uma das condições não é satisfeita. Isso indica que o campo não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Determine
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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
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Determine
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Determine
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