Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = nabla f.
15. F(x, y, z) = 3xy^2z^2 i + 2x^2yz^3 j + 3x^2y^2z^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o campo vetorial dado é conservativo ou não. Se for conservativo, também precisamos encontrar uma função tal que . Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar . Isso significa que não importa o caminho que você escolha para ir de um ponto a outro no campo, o trabalho realizado será sempre o mesmo.

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos checar se ele satisfaz as condições de igualdade das derivadas cruzadas. Em outras palavras, as derivadas parciais misturadas devem ser iguais.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Como (6xyz² ≠ 4xyz³), pelo menos uma das condições não é satisfeita. Isso indica que o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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