Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
. Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e séries de Taylor para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir
. Assim, quando
se aproxima de 3,
se aproxima de 0. Substituindo na expressão, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função cosseno perto de 0:
Para valores pequenos de
, podemos aproximar
usando os primeiros termos da série:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Passo 5
Simplificando a fração:
Resposta
Portanto, o limite é
.