Determine lim x 3 1-cos [5(x-3)]14(x-3)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e séries de Taylor para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir lim h 0 1 - cos(5h)14h^2 . Assim, quando se aproxima de 3, se aproxima de 0. Substituindo na expressão, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função cosseno perto de 0:
cos(theta) approx 1 - theta^22 + theta^424 - dots
Para valores pequenos de cos(5h) approx 1 - (5h)^22 = 1 - 25h^22 , podemos aproximar usando os primeiros termos da série:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
1 - cos(5h)14h^2 approx 1 - (1 - 25h^22)14h^2 = 25h^2214h^2

Passo 5

Simplificando a fração:
25h^2214h^2 = 252 times 14 = 2528

Resposta

Portanto, o limite é .

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