Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Esse exercício envolve Cálculo de Limites e Manipulação Algébrica, especialmente lidando com expressões que contêm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões complexas e aplicar propriedades de limites no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Perceba que , então a expressão dentro da raiz fica . Portanto, temos:

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o termo dentro do limite. Isso significa que vamos multiplicar e dividir pela forma conjugada da expressão que envolve a raiz. A forma conjugada de é .
Multiplicando o numerador e o denominador por essa conjugada, temos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador usando a identidade :
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, simplificamos os termos:
Podemos fatorar dentro da raiz para facilitar:
Como tende para , é negativo, então . Substituindo:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
Agora, vamos analisar o comportamento quando . Note que tende a 0, então:
Portanto, a expressão se aproxima de:
Mas precisamos ser cuidadosos com os sinais. Conforme , o denominador se aproxima de , então o quociente tende a .

Resposta

O limite é .

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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
15.
Determine .
Determine .
Determine .