Determine lim h -infty x(raiz(9 x)^2-18-9 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Esse exercício envolve Cálculo de Limites e Manipulação Algébrica, especialmente lidando com expressões que contêm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões complexas e aplicar propriedades de limites no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
x(raiz(9x)^2-18 - 9x)
Perceba que x(raiz81x^2 - 18 - 9x) , então a expressão dentro da raiz fica . Portanto, temos:

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o termo dentro do limite. Isso significa que vamos multiplicar e dividir pela forma conjugada da expressão que envolve a raiz. A forma conjugada de x cdot (raiz81x^2 - 18 - 9x) (raiz81x^2 - 18 + 9x)raiz81x^2 - 18 + 9x é .
Multiplicando o numerador e o denominador por essa conjugada, temos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador usando a identidade (raiz81x^2 - 18)^2 - (9x)^2 = 81x^2 - 18 - 81x^2 = -18 :
x cdot -18raiz81x^2 - 18 + 9x
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, simplificamos os termos:
-18xraiz81x^2 - 18 + 9x
Podemos fatorar raiz81x^2 - 18 = raiz81x^2(1 - 1881x^2) = 9|x|raiz1 - 29x^2 dentro da raiz para facilitar:
raiz81x^2 - 18 = 9(-x)raiz1 - 29x^2 = -9xraiz1 - 29x^2
Como tende para , é negativo, então . Substituindo:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
-18x-9xraiz1 - 29x^2 + 9x = -18x9x(-raiz1 - 29x^2 + 1) = -2- raiz1 - 29x^2 + 1
Agora, vamos analisar o comportamento quando raiz1 - 29x^2 approx raiz1 = 1 . Note que -2-1 + 1 = -20 tende a 0, então:
Portanto, a expressão se aproxima de:
Mas precisamos ser cuidadosos com os sinais. Conforme , o denominador se aproxima de , então o quociente tende a .

Resposta

O limite é .

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