Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Esse exercício envolve Cálculo de Limites e Manipulação Algébrica, especialmente lidando com expressões que contêm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões complexas e aplicar propriedades de limites no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Perceba que
, então a expressão dentro da raiz fica
. Portanto, temos:
Passo 3
Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o termo dentro do limite. Isso significa que vamos multiplicar e dividir pela forma conjugada da expressão que envolve a raiz. A forma conjugada de
é
.
Multiplicando o numerador e o denominador por essa conjugada, temos:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador usando a identidade
:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Agora, simplificamos os termos:
Podemos fatorar
dentro da raiz para facilitar:
Como
tende para
,
é negativo, então
. Substituindo:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, vamos analisar o comportamento quando
. Note que
tende a 0, então:
Portanto, a expressão se aproxima de:
Mas precisamos ser cuidadosos com os sinais. Conforme
, o denominador se aproxima de
, então o quociente tende a
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
15.
15.
Determine
.
Determine
.
Determine
.