Determine se o campo vetorial dado é conservativo: F(x, y, z) = (3x^2 - 2yz) i + (2xz + 6yz) j + (2xy + 3y^2 - 2z) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se o campo vetorial dado é conservativo. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a rotacional do campo vetorial e verificar se ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar, chamada potencial, cuja derivada é igual ao campo vetorial. Isso tem várias implicações, como a independência do caminho para o cálculo de integrais de linha.

Passo 3

Para verificar se um campo vetorial é conservativo, usamos a rotacional (ou curl) do campo. A propriedade chave é: se a rotacional do campo vetorial for zero em toda parte no domínio considerado, então o campo é conservativo. A fórmula da rotacional no espaço tridimensional é:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao campo vetorial dado:
Primeiro, identificamos as componentes:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da rotacional:
Simplificando cada componente:

Passo 6

Agora, analisamos a rotacional obtida:
Para o campo ser conservativo, a rotacional precisa ser zero em todas as direções. No nosso caso, a rotacional não é zero, pois depende de e .

Resposta

O campo vetorial dado não é conservativo, já que sua rotacional não é igual a zero.

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