Determine se o campo vetorial dado é conservativo:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o campo vetorial dado é conservativo. Isso significa que queremos saber se existe uma função potencial cuja derivada é exatamente esse campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional do campo. Se o rotacional for zero, então o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por
, nos ajuda a verificar se existe alguma “circulação” no campo. Se o rotacional for igual a zero em todo o espaço, o campo não tem essa circulação e, portanto, é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Agora que calculamos todas as componentes do rotacional, temos:
Como o rotacional de
é zero, isso indica que o campo vetorial não possui circulação e, portanto, é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.