Determine se o campo vetorial dado é conservativo: F(x, y, z) = (2y * e^(2x) + e^(z)) * i + (3z * e^(3y) + e^(2x)) * j + (x * e^(z) + e^(3y)) * k;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o campo vetorial dado é conservativo. Isso significa que queremos saber se existe uma função potencial cuja derivada é exatamente esse campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional do campo. Se o rotacional for zero, então o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por , nos ajuda a verificar se existe alguma “circulação” no campo. Se o rotacional for igual a zero em todo o espaço, o campo não tem essa circulação e, portanto, é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (2y * e^(2x) + e^(z)) * i + (3z * e^(3y) + e^(2x)) * j + (x * e^(z) + e^(3y)) * k. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
  1. Componente j:
  1. Componente k:

Passo 4

Agora que calculamos todas as componentes do rotacional, temos:
Como o rotacional de F é zero, isso indica que o campo vetorial não possui circulação e, portanto, é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y, z) é conservativo.

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