Determine se o campo vetorial dado é conservativo: F(x, y, z) = (y sec^2(x)) i + (tan(x) - z sec^2(y)) j + (x sec(z) tan(z)) k;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função potencial cuja gradiente é igual a esse campo. Para verificar isso, vamos usar o conceito de rotacional do campo vetorial. Se o rotacional do campo for igual a zero, então o campo é conservativo. Portanto, precisaremos calcular o rotacional do campo e verificar se ele é nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial :
Vamos identificar as componentes , e do nosso campo:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para encontrar o rotacional.
Primeiro, para a componente i:

Passo 4

Para a componente j:

Passo 5

Para a componente k:

Passo 6

Com todos os componentes calculados, o rotacional do campo vetorial é:

Resposta

O campo vetorial dado não é conservativo.

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