Determine se o campo vetorial dado é conservativo:
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função potencial cuja gradiente é igual a esse campo. Para verificar isso, vamos usar o conceito de rotacional do campo vetorial. Se o rotacional do campo for igual a zero, então o campo é conservativo. Portanto, precisaremos calcular o rotacional do campo
e verificar se ele é nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial
:
Vamos identificar as componentes
,
e
do nosso campo:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para encontrar o rotacional.
Primeiro, para a componente
:
Passo 4
Para a componente
:
Passo 5
Para a componente
:
Passo 6
Com todos os componentes calculados, o rotacional do campo vetorial é:
Resposta
O campo vetorial dado não é conservativo.